Question

已知函數f(x)=cosx，x∈(

π

2

，3π)，若方程f（x）=a有三個不同的實根，且從小到大依次成等比數列，則a的值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．-

  1

  2

• D．-

  3

  2

Answer 1

分析：作出函數y=cosx的圖象和直線y=a，得兩個圖象在（

π

2

，3π）上有三個交點A、B、C，滿足A、B關于x=π對稱且B、C關于x=2π對稱，結合三個根從小到大依次成等比數列列出橫坐標x₁、x₂、x₃的方程組，解之可得x₂的值，從而得出實數a的值．

解答：解：同一坐標系中作出y=cosx和y=a的圖象，
設兩個圖象在（

π

2

，3π）上有三個交點A、B、C，則A、B、C的橫坐標分別對應方程f（x）=a的三個根，
得A（x₁，a），B（x₂，a），A（x₃，a），
根據余弦函數圖象的對稱性，得

x1+x2

2

=π，得x₁+x₂=2π
且

x2+x3

2

=2π，x₂+x₃=4π
∵三個根從小到大依次成等比數列，即x₂²=x₁x₃，
∴

x

2 2

=(2π-x2)(4π-x2)，解之得x2=

4π

3

，
因此x1=

2π

3

，x2=

4π

3

，x3=

8π

3

，所以a=cos

2π

3

=-

1

2

．
故選C．

點評：本題主要考查余弦函數的對稱性和等比數列的綜合應用，綜合性較強．