Question

（本小題滿分13分）
已知，在水平平面上有一長方體繞旋轉得到如圖所示的幾何體．

(Ⅰ)證明：平面平面；
（Ⅱ）當時，直線與平面所成的角的正弦值為，求的長度；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，設旋轉過程中，平面與平面所成的角為，長方體的最高點離平面的距離為，請直接寫出的一個表達式，并注明定義域．

Answer 1

證明：(Ⅰ)延長交于， ，
，
，
，

即    ……………………………………2分
又  
     ……………………………………3分
 ，  ……………………………………4分
平面平面；……………………………………5分
（Ⅱ）如圖，以所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
設         ……………………………………6分

  ……………………………………7分
設平面的一個法向量為，
則由，取   ……………………………………8分
設直線
解得               ……………………………………10分
（Ⅲ）              ……………………………………13分

解析