Question

已知二次函數(shù)，直線，直線（其中，為常數(shù)）；.若直線₁、₂與函數(shù)的圖象以及、軸與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形如圖陰影所示.

（Ⅰ）求、、的值；

（Ⅱ）求陰影面積關(guān)于的函數(shù)的解析式；

（Ⅲ）若問是否存在實(shí)數(shù)，使得的圖象與的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（I）由圖形可知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，0），（8，0），并且的最大值為16

則，

∴函數(shù)的解析式為

（Ⅱ）由得

∵0≤t≤2，∴直線與的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

由定積分的幾何意義知：

 

（Ⅲ）令

因?yàn)?sub>，要使函數(shù)與函數(shù)有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，

則函數(shù)的圖象與軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

∴=1或=3時(shí)，

當(dāng)∈（0，1）時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)∈（1，3）時(shí)，

是減函數(shù)，當(dāng)∈（3，+∞）時(shí)，是增函數(shù)。

 

又因?yàn)楫?dāng)→0時(shí)，；當(dāng)

所以要使有且僅有兩個(gè)不同的正根，必須且只須

即， ∴或

∴當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與的圖象有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)。