Question

心理學家研究某位學生的學習情況發現：若這位學生剛學完的知識存留量為1，則x天后的存留量y1=

4

x+4

；若在t（t＞0）天時進行第一次復習，則此時這似乎存留量比未復習情況下增加一倍（復習的時間忽略不計），其后存留量y₂隨時間變化的曲線恰好為直線的一部分，其斜率為

a

(t+4)2

(a＜0)，存留量隨時間變化的曲線如圖所示．當進行第一次復習后的存留量與不復習的存留量相差最大時，則稱此時刻為“二次復習最佳時機點”
（1）若a=-1，t=5，求“二次復習最佳時機點”；
（2）若出現了“二次復習最佳時機點”，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）第一次復習后的存留量是y₂，不復習時的存留量為y₁，復習后與不復習的存留量差是y=y₂-y₁；把a、t代入，整理即得所求；
（2）求出知識留存量函數y=

a

(t+4)2

(x-t)+

8

t+4

-

4

x+4

（t＞4，且t、a是常數，x是自變量），y取最大值時對應的t、a取值范圍即可．

解答：解：（1）設第一次復習后的存留量與不復習的存留量之差為y，
由題意，第一次復習后的存留量是y2=

a

(t+4)2

(x-t)+

8

t+4

(t＞4)，
不復習的存留量為y1=

4

x+4

；
∴y=y2-y1=

a

(t+4)2

(x-t)+

8

t+4

-

4

x+4

(t＞4)；
當a=-1，t=5時，y=

-1

(5+4)2

(x-5)+

8

5+4

-

4

x+4

=

-(x+4)

81

-

4

x+4

+1≤-2

4 81

+1=

5

9

，
當且僅當x=14時取等號，
所以“二次復習最佳時機點”為第14天．
（2）知識留存量函數y=

a

(t+4)2

(x-t)+

8

t+4

-

4

x+4

=-

-a(x+4)

(t+4)2

-

4

x+4

+

8

t+4

-

a(t+4)

(t+4)2

≤-2

-4a (t+4)2

+

8-a

t+4

，
當且僅當

-a(x+4)

(t+4)2

=

4

x+4

即x=

2

-a

(t+4)-4時取等號，
由題意

2

-a

(t+4)-4＞t，所以-4＜a＜0．

點評：本題考查了含有字母參數的函數類型的應用，題目中應用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）求出最值，有難度，是綜合題．