Question

設f（x）是定義在（0，+∞）的可導函數，且不恒為0，記．若對定義域內的每一個x，總有g_n（x）＜0，則稱f（x）為“n階負函數”；若對定義域內的每一個x，總有，則稱f（x）為“n階不減函數”（為函數g_n（x）的導函數）．
（1）若既是“1階負函數”，又是“1階不減函數”，求實數a的取值范圍；
（2）對任給的“2階不減函數”f（x），如果存在常數c，使得f（x）＜c恒成立，試判斷f（x）是否為“2階負函數”？并說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，在（0，+∞）上單調遞增，
故恒成立，得，…（2分）
因為x＞0，所以a≤0． …（4分）
而當a≤0時，顯然在（0，+∞）恒成立，
所以a≤0． …（6分）
（2）①先證f（x）≤0：
若不存在正實數x₀，使得g₂（x₀）＞0，則g₂（x）≤0恒成立． …（8分）
假設存在正實數x₀，使得g₂（x₀）＞0，則有f（x₀）＞0，
由題意，當x＞0時，，可得g₂（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當x＞x₀時，恒成立，即恒成立，
故必存在x₁＞x₀，使得（其中m為任意常數），
這與f（x）＜c恒成立（即f（x）有上界）矛盾，故假設不成立，
所以當x＞0時，g₂（x）≤0，即f（x）≤0； …（13分）
②再證f（x）=0無解：
假設存在正實數x₂，使得f（x₂）=0，
則對于任意x₃＞x₂＞0，有，即有f（x₃）＞0，
這與①矛盾，故假設不成立，
所以f（x）=0無解，
綜上得f（x）＜0，即g₂（x）＜0，
故所有滿足題設的f（x）都是“2階負函數”． …（16分）
分析：（1）根據“n階不減函數”的定義，設=，將[g₁（x）]′≥0化簡整理，可得在（0，+∞）上恒成立，因此a≤0．再將a≤0代入g₁（x）表達式，可得g₁（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，由此可得滿足條件的實數a的取值范圍為（-∞，0]；
（2）分兩步：①根據“存在常數c，使得f（x）＜c恒成立”，結合反證法證出g₂（x）≤0對任意x∈（0，+∞）成立，從而得到f（x）≤0任意x∈（0，+∞）恒成立；②根據“2階不減函數”的性質，結合函數的單調性和不等式的性質證出方程f（x）=0無解．由以上兩條，即可得到所有滿足題設的f（x）都是“2階負函數”．
點評：本題給出“n階負函數”和“n階不減函數”的定義，討論了2階不減函數”f（x）能成為“2階負函數”的條件，著重考查了利用導數研究函數的單調性、反證法思想和不等式的性質等知識，屬于中檔題．