Question

（2003•朝陽區一模）已知：如圖，過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點F（-c，0）作垂直于長軸A₁A₂的直線與橢圓c交于P、Q兩點，l為左準線．
（Ⅰ）求證：直線PA₂、A₁Q、l共點；
（Ⅱ）若過橢圓c左焦點F（-c，0）的直線斜率為k，與橢圓c交于P、Q兩點，直線PA₂、A₁Q、l是否共點，若共點請證明，若不共點請說明理由．

Answer 1

分析：（I）聯立

x=-c x2 a2 + y2 b2 =1

，解得點P，Q的坐標，得到直線PA₂的方程與直線A₁Q的方程，只要聯立解得x=-

a2

c

即可；
（II）設點P、Q的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），不妨設x₁＞x₂．
直線PA₂、A₁Q的斜率分別為k₁，k₂，則k1=

y1

x1-a

，k2=

y2

x2+a

，
直線PA₂的方程為y=k₁（x-a），直線A₁Q的方程為y=k₂（x+a）．聯立解得x=

a(k1+k2)

k1-k2

=

x1y2+x2y1+a(y1-y2)

-x1y2+x2y1+a(y1+y2)

•a．
直線PQ的方程為y=k（x+c），與橢圓方程聯立．設M=b²+a²k²，方程（*）的二根為x₁，x₂，則x1+x2=-

2a2k2c

M

，x1x2=

a2c2k2-a2b2

M

．
由于點P，Q在直線PQ上，可得y₁=k（x₁+c），y₂=k（x₂+c）．經計算可得x=-

a2

c

，即可．

解答：解：（I）聯立

x=-c x2 a2 + y2 b2 =1

，解得

x=-c y= b2 a

或

x=-c y=- b2 a

，則等P(-c，

b2

a

)，Q(-c，-

b2

a

)．
直線PA₂的方程為y=

b2

-a(a+c)

(x-a)，直線A₁Q的方程為y=

b2

a(c-a)

(x+a)．聯立

y= b2 -a(a+c) (x-a) y= b2 a(c-a) (x+a)

，解得x=-

a2

c

．
由于左準線的方程為x=-

a2

c

，∴直線PA₂與A₁Q的交點在準線l上．
故直線PA₂、A₁Q、l相交于一點．
（II）設點P、Q的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），不妨設x₁＞x₂．
直線PA₂、A₁Q的斜率分別為k₁，k₂，則k1=

y1

x1-a

，k2=

y2

x2+a

，
直線PA₂的方程為y=k₁（x-a），直線A₁Q的方程為y=k₂（x+a）．
聯立

y=k1(x-a) y=k2(x+a).

解得x=

a(k1+k2)

k1-k2

=

x1y2+x2y1+a(y1-y2)

-x1y2+x2y1+a(y1+y2)

•a．
直線PQ的方程為y=k（x+c），聯立

y=k(x+c) x2 a2 + y2 b2 =1

，化為（b²+a²k²）x²+2a²k²cx+a²c²k²-a²b²=0（*）．
設M=b²+a²k²，方程（*）的二根為x₁，x₂，則x1+x2=-

2a2k2c

M

，x1x2=

a2c2k2-a2b2

M

．
∵點P，Q在直線PQ上，∴y₁=k（x₁+c），y₂=k（x₂+c）．
∴y1+y2=

2b2ck

M

，y1-y2=

2abkN

M

，其中N=

b2+a2k2-c2k2

，
x1y2+x2y1=-

2a2b2k

M

，-x1y2+x2y1=-

2abckN

M

．
∴x=

- 2a2b2k M +a• 2abkN M

- 2abckN M +a• 2b2ck M

•a=-

a2

c

，
由于左準線的方程為x=-

a2

c

，∴直線PA₂與A₁Q的交點在準線l上．
故直線PA₂，A₁Q，l相交于一點．

點評：本題中考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、直線與直線相交問題轉化為方程聯立得到方程組等i垂直屬于基本技能，考查了較強的計算能力、推理能力和解決問題的能力．