Question

設是定義在[－1，1]上的偶函數，的圖象與的圖象關于直線對稱，且當x∈[ 2，3 ] 時，．

（1）求的解析式；

（2）若在上為增函數，求的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使的圖象的最高點落在直線上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∴

       （2）a＞(6x²)_max＝6．

       （3）證明見解析。

解析:

（1）當x∈[－1，0]時，2－x∈[2，3]，f(x)＝g(2－x)＝ －2ax＋4x³；當x∈時，f(x)＝f(－x)＝2ax－4x³，

       ∴………………………………………4分

       （2）由題設知，＞0對x∈恒成立，即2a－12x²＞0對x∈恒成立，于是，a＞6x²，從而a＞(6x²)_max＝6．………………………8分

       （3）因f(x)為偶函數，故只需研究函數f(x)＝2ax－4x³在x∈的最大值．

       令＝2a－12x²＝0，得．…10分    若∈，即0＜a≤6，則

       ，

       故此時不存在符合題意的；

       若＞1，即a＞6，則在上為增函數，于是．

       令2a－4＝12，故a＝8．    綜上，存在a ＝ 8滿足題設．………………13分

評析：本題通過函數的知識來切入到導數，是在這兩個重要知識的交匯處命題，意在考查學生的邏輯思維能力與推理能力，函數及導數的應用是數學的難點，也是考得最熱的話題之一，也是本套試卷的把關題，對學生的要求較高．