Question

平面直角坐標系有點P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[-

π

4

，

π

4

]；
（1）求向量

OP

和

OQ

的夾角θ的余弦用x表示的函數f（x）；
（2）求cosθ的最值．

Answer 1

分析：（1）由已知可求

OP

，

OQ

，代入cosθ=

OP • OQ

| OP || OQ |

即可求解
（2）由（1）可求f（x）=cosθ=

OP • OQ

| OP || OQ |

，由x的范圍可求cosθ的范圍，結合函數的單調性即可求cosθ的最小值

解答：解：（1）∵P（1，cosx），Q（cosx，1），
∴

OP

=（1，cosx），

OQ

=（cosx，1）
∴

OP

•

OQ

=2cosx，|

OP

||

OQ

|=1+cos²x
∴cosθ=

OP • OQ

| OP || OQ |

=

2cosx

1+cos2x

=f（x）　
（2）f（x）=cosθ=

OP • OQ

| OP || OQ |

=

2cosx

1+cos2x

=

2

cosx+ 1 cosx

且x∈[-

π

4

，

π

4

]
∴cosθ∈[

2

2

，1]　
令g（x）=x+

1

x

設x₁，x₂∈[

2

2

，1]，且x₁＜x₂
∵g′(x)=1-

1

x2

＜0在[

2

2

，1]上恒成立（此處也可以利用單調性的定義判斷）
∴g（x）=x+

1

x

在[

2

2

，1]上是減函數．
∴2≤cosx+

1

cosx

≤

3 2

2

∴

2 2

3

≤f(x)≤1　即

2 2

3

≤cosθ≤1

點評：本題主要考查了向量的數量積的性質的坐標表示，向量與 三角函數及函數的單調性等知識的綜合應用．