Question

探究函數f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
函數f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)在區間（0，2）上遞減；
（1）函數f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)在區間

 

上遞增．當x=

 

時，y_最小=

 

．
（2）證明：函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間（0，2）遞減．
（3）思考：函數f(x)=x+

4

x

(x＜0)有最值嗎？如有，是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）．

Answer 1

分析：（1）利用表中y值隨x值變化的特點，可以知道函數值是先減后增，只要找到臨界點即可得到答案．
（2）法一：根據函數的解析式，求出函數的導函數，分析導函數在區間（0，2）上的符號，即可判斷出函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間（0，2）上的單調性，進而得到答案．
法二：任取區間，（0，2）上的任意兩個數x₁，x₂，且x₁＜x₂．構造f（x₁）-f（x₂）的差，并根據實數的性質判斷其符號，根據函數單調性的定義，即可得到結論．
（3）根據的解析式，我們易求出函數在定義域為奇函數，根據奇函數的性質，結合（1）的結論，易得到結果．

解答：解：（1）由表格中的數據，我們易得：
函數f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)在區間（2，+∞）上遞增．
當x=2時，y_最小=4．；
（2）方法一：由f（x）=x+

4

x

，
∴f'（x）=1-

4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，
當x∈（0，2）時，∴f'（x）＜0，
∴函數在（0，2）上為減函數．
方法二：設x₁，x₂是區間，（0，2）上的任意兩個數，且x₁＜x₂.f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=x1-x2+

4

x1

-

4

x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)
=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（0，2），∴0＜x₁x₂＜4，∴x₁x₂-4＜0，
∴y₁-y₂＞0∴函數在（0，2）上為減函數．
（3）∵f（-x）=-x-

4

x

=-f（x），
∴f（x）是奇函數，
又因為當x=2時y_最小=4，
所以 y=x+

4

x

，x∈(-∞，0)時，x=-2時，y最大=-4

點評：對于給定解析式的函數，判斷或證明其在某個區間上的單調性問題，可以結合定義求解，可導函數也可利用導數解之．