Question

（本小題滿分12分）在幾何體ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中點，AB=AC=BE=2，CD=1

（Ⅰ）求證：DC∥平面ABE；
（Ⅱ）求證：AF⊥平面BCDE；
（Ⅲ）求證：平面AFD⊥平面AFE．

Answer 1

(Ⅰ) 先證DC//EB，再推出DC∥平面ABE；
(Ⅱ)證DC⊥AF，進一步AF⊥平面BCDE。
(Ⅲ)由(2)推出AF⊥EF，在直角梯形BCDE中，計算DF=,EF=,DE=
證明EF⊥平面AFD，推出平面AFD⊥平面AFE．

解析試題分析：(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC
∴DC//EB，
又∵DC平面ABE，EB平面ABE，
∴DC∥平面ABE………………………………………………（4分）
(Ⅱ)∵DC⊥平面ABC，
∴DC⊥AF，
又∵AF⊥BC，DC交BC于C
∴AF⊥平面BCDE……………………………………（8分）
(Ⅲ)由(2)知AF⊥平面BCDE，
∴AF⊥EF，在直角梯形BCDE中，計算DF=,EF=,DE=
在三角形DEF中DF⊥EF，AF⊥EF，DF交AF于F
∴EF⊥平面AFD，又EF平面AFE，
∴平面AFD⊥平面AFE．…………………………………………（12分）
考點：本題主要考查立體幾何中線面平行與垂直的證明。
點評：典型題，立體幾何中平行、垂直關系的證明及角的計算問題是高考中的必考題，本題難度不大，注意牢記定理巧妙地實現線線關系、線面關系及面面關系的相互轉化。