Question

設f_k（n）為關于n的k（k∈N）次多項式．數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n．對于任意的正整數n，a_n+S_n=f_k（n）都成立．
（I）若k=0，求證：數列{a_n}是等比數列；
（II）試確定所有的自然數k，使得數列{a_n}能成等差數列．

Answer 1

（Ⅰ）證明：若k=0，則f_k（n）即f₀（n）為常數，
不妨設f₀（n）=c（c為常數）．
因為a_n+S_n=f_k（n）恒成立，
所以a₁+S₁=c，c=2a₁=2．
而且當n≥2時，a_n+S_n=2，①
a_n﹣1+S_n﹣1=2，②
①﹣②得 2a_n﹣a_n﹣1=0（n∈N，n≥2）．
若a_n=0，則a_n﹣1=0，…，a₁=0，與已知矛盾，所以a_n≠0（n∈N*）．
故數列{a_n}是首項為1，公比為的等比數列．
（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符題意，舍去．
（2）若k=1，設f₁（n）=b_n+c（b，c為常數），
當n≥2時，a_n+S_n=b_n+c，③
a_n﹣1+S_n﹣1=b（n﹣1）+c，④
③﹣④得 2a_n﹣a_n﹣1=b（n∈N，n≥2）．
要使數列{a_n}是公差為d（d為常數）的等差數列，必須有a_n=b﹣d（常數），
而a₁=1，故{a_n}只能是常數數列，通項公式為a_n=1（n∈N*），
故當k=1時，數列{a_n}能成等差數列，其通項公式為a_n=1（n∈N*），
此時f₁（n）=n+1．
（3）若k=2，設f₂（n）=pn²+qn+t（a≠0，a，b，c是常數），
當n≥2時，a_n+S_n=pn²+qn+t，⑤
a_n﹣1+S_n﹣1=p（n﹣1）²+q（n﹣1）+t，⑥
⑤﹣⑥得 2a_n﹣a_n﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），
要使數列{a_n}是公差為d（d為常數）的等差數列，必須有a_n=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，
考慮到a₁=1，所以a_n=1+（n﹣1）2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．
故當k=2時，數列{a_n}能成等差數列，其通項公式為a_n=2pn﹣2p+1（n∈N*），
此時f₂（n）=an²+（a+1）n+1﹣2a（a為非零常數）．
（4）當k≥3時，若數列{a_n}能成等差數列，
根據等差數列通項公式可知S_n是關于n的二次型函數，
則a_n+S_n的表達式中n的最高次數為2，故數列{a_n}不能成等差數列．
綜上得，當且僅當k=1或2時，數列{a_n}能成等差數列．