Question

設平面向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(

3

2

，

1

2

)，函數f(x)=

a

•

b

+1．
①求函數f（x）的值域；
②求函數f（x）的單調增區間．
③當f(α)=

9

5

，且

π

6

＜α＜

2π

3

時，求sin(2α+

2π

3

)的值．

Answer 1

分析：根據f（x）的特點，利用平面向量的數量積的運算法則化簡，然后利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，從而確定出f（x）的解析式，
①根據正弦函數的值域即可求出f（x）的值域；
②根據正弦函數的單調區間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，列出不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍即為f（x）的遞增區間；
③根據f(α)=

9

5

，代入f（x）的解析式中，得到sin（α+

π

3

）的值，根據α的范圍求出α+

π

3

的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（α+

π

3

）的值，把所求的式子利用二倍角的正弦函數公式化簡，將sin（α+

π

3

）和cos（α+

π

3

）的值代入即可求出值．

解答：解：依題意f（x）=（cosx，sinx）•(

3

2

，

1

2

)+1=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1（2分）
=sin(x+

π

3

)+1（5分）
①函數f（x）的值域是[0，2]；（6分）
②令-

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解得：-

5π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，
所以函數f（x）的單調增區間為[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ](k∈Z)；（8分）
③由f(α)=sin(α+

π

3

)+1=

9

5

，得sin(α+

π

3

)=

4

5

，
因為

π

6

＜α＜

2π

3

，所以

π

2

＜α+

π

3

＜π，
得cos(α+

π

3

)=-

3

5

，（11分）
則sin(2α+

2π

3

)=sin2(α+

π

3

)
=2sin(α+

π

3

)cos(α+

π

3

)=-2×

4

5

×

3

5

=-

24

25

（13分）．

點評：此題綜合考查了正弦函數的定義域及值域，正弦函數的單調性，平面向量的數量積的運算以及三角函數的恒等變換．學生做題時注意角度的范圍，靈活運用三角函數公式及平面向量的數量積的運算法則．