Question

設四點A、B、C、D均在雙曲線x²-y²=1的右支上．
（1）若

AB

=λ

CD

（實數λ≠0），證明：

OA

•

OB

=

OC

•

OD

（O是坐標原點）；
（2）若|AB|=2，P是線段AB的中點，過點P分別作該雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足為M、N，求四邊形OMPN的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）據兩向量共線的充要條件得兩向量共線，據兩線平行斜率相等，設出直線方程與曲線方程聯立，利用韋達定理代入得證．
（2）利用弦長公式得到斜率與截距的關系，據四邊形為兩個三角形面積的和表示出面積，轉化為求函數的最大值．

解答：解：（1）∵

AB

=λ

CD

，∴

AB

∥

CD

①直線AB的斜率不存在時，
設方程為x=m（|m|＞1），
設A（m，y₁），則B（m，-y₁）且m²-y₁²=1
∴

OA

•

OB

=m²-y₁²=1同理

OC

•

OD

=1
∴

OA

•

OB

=

OC

•

OD

②直線AB斜率存在時，設方程為y=kx+b
與x²-y²=1聯立得（1-k²）x²-2kbx-b²-1=0
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）則x₁+x₂=

2kb

1-k2

，x₁x₂=

b2+1

k2-1

則

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=

k2+1

k2-1

∵AB∥CD∴直線CD與直線AB斜率相等，同理

OC

•

OD

=

k2+1

k2-1

∴

OA

•

OB

=

OC

•

OD

綜上，

OA

•

OB

=

OC

•

OD

（2）AB斜率存在時，4=|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
由（1）②得b2=

2k2(k2-1)

1+k2

∵x₁•x₂＞0∴k²＞1，設P（x₀，y₀），則x₀=

1

2

(x1+x2)=

kb

1-k2

y₀=kx₀+b=

b

1-k2

∴S=

|x0-y0|

2

•

|x0+y0|

2

=

1

2

•

b2

k2-1

=1-

1

1+k2

∵k²＞1∴

1

2

＜S＜1；AB斜率不存在時，易得S=1
綜上，四邊形OMPN面積的最大值為1．

點評：本題考查向量共線的充要條件；解決直線與圓錐曲線問題的方法；直線與圓錐曲線相交截的得的弦長公式等．