Question

已知M（2，1），N（-1，2），在下列方程的曲線上，存在點P滿足|MP|=|NP|的曲線是（　　）

• A、3x-y+1=0
• B、x²+y²-4x+3=0
• C、

  x2

  2

  +y2=1
• D、

  x2

  2

  -y2=1

Answer 1

分析：根據題意，要滿足|MP|=|NP|，則P在線段MN的垂直平分線上，即求可以和線段MN的垂直平分線相交的曲線即可．先求得線段MN的垂直平分線方程，分別代入四個選項的方程，根據判別式判斷與曲線方程是否有交點．

解答：解：連接MN，設MN的方程為y=kx+b，傾斜角為α
代入M，N的坐標，有
2k+b=1
-k+b=2
解得k=-

1

3

，b=

5

3

即tanα=

sinα

cosα

=-

1

3

MN的方程為y=-

x

3

+

5

3

，x∈[-1，2]
設MN的中點坐標為Q（a，-

a

3

+

5

3

）
有|QM|²=|QN|²
（a-2）²+（-

a

3

+

5

3

-1）²=[a-（-1）]²+（-

a

3

+

5

3

-2）²
解得a=

1

2

得Q（

1

2

，

3

2

）
與MN垂直的直線斜率為
tan（

π

2

+α）=

sin( π 2 +α)

cos( π 2 +α)

=-

cosα

sinα

=3
設MN垂直平分線的方程為y=3x+c
代入Q（

1

2

，

3

2

），得
3×

1

2

+c=

3

2

得c=0
MN垂直平分線的方程為y=3x
可知y=3x上的點到M的距離與到N的距離相等，則點P在y=3x上，同時又在A，B，C，D中的一個曲線上，即兩個圖象有交點
A.3x-y+1=0
即y=3x+1
3x+1=3x不成立，兩個圖象無交點
B．y=3x代入x²+y²-4x+3=0，得
10x²-4x+3=0
判別式△=（-4）²-4×10×3=-104＜0
兩個圖象無交點
C．y=3x代入

x2

2

+y2=1，得

x2

2

+(3x)2=1，解得x=±

2 19

19

3*（±2√19/19）═±6√19/19
得P（

2 19

19

，

6 19

19

）或（-

2 19

19

，-

6 19

19

）
D．y=3x代入

x2

2

-y2=1，得

17x2

2

+1═0
判別式△=0²-4×（17/2）×1=-34＜0
兩個圖象無交點
只有C選項正確
故選C

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，直線與圓錐曲線的位置關系．直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數解成實數解的個數問題，此時要注意用好分類討論和數形結合的思想方法