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已知 $數學公式$ ，若f（x）=ax²-2x+1在區間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），記g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析表達式；
（2）若對一切 $數學公式$ 都有kg（a）-1＜0成立，求實數k的取值范圍．

解：（1） $\text{[math]}$ x∈[1，3]
由 $\text{[math]}$ 知， $\text{[math]}$ ．從而 $\text{[math]}$
∴當 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 時，M（a）=f（3）=9a-5
當 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 時，M（a）=f（1）=a-1
∴ $\text{[math]}$
（2）當 $\text{[math]}$ 時， $\text{[math]}$ 為減函數．
∴ $\text{[math]}$ ．
要使kg（a）-1＜0恒成立，則 $\text{[math]}$ 恒成立．而 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
又當 $\text{[math]}$ 時， $\text{[math]}$ 為增函數
∴ $\text{[math]}$
要使kg（a）-1＜0恒成立．則 $\text{[math]}$ 恒成立．而 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
綜上得， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）將f（x）=ax²-2x+1配方化為 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 可求 $\text{[math]}$ ，求得N（a）；根據f（x）的對稱軸 $\text{[math]}$ 在區間[1，3]的位置情況分類討論，求得M（a），從而求得g（a）的解析表達式；
（2）對 $\text{[math]}$ ，分段研究函數的單調性，從而可求得各段上g（a）及 $\text{[math]}$ 的取值范圍，及k滿足的關系式，再利用“小小取小”的恒成立思想即可解決問題．
點評：本題考查二次函數在閉區間上的最值，著重考查學生分類討論思想與轉化思想及恒成立思想的應用，中檔題．

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