Question

（2009•黃岡模擬）已知函數f（x）=

1-x2 (-1＜x＜0) 2x-2   (0≤x＜1)

的反函數是f^-1（x），解不等式f^-1（-x）+x＞0．

Answer 1

分析：利用平方開方和指對數運算法則，求出函數f（x）的反函數的表達式，從而得到f^-1（-x）的分段形式的函數表達式，再進行分類討論，分別解關于x的不等式，最后綜合可得原不等式的解集．

解答：解：當-1＜x＜0時，由y=

1-x2

，得x=-

1-y2

當0≤x＜1時，由y=2^x-2，得x=log₂（y+2）
∴f^-1（x）=

- 1-x2    (0＜x＜1) log2(x+2)    (-1≤x＜0)

，可得f^-1（-x）=

- 1-x2    (-1＜x＜0) log2(-x+2)    (0＜x≤1)

①當-1＜x＜0時，不等式f^-1（-x）+x＞0即-

1-x2

+x＞0，沒有實數解；
②當0＜x≤1時，不等式f^-1（-x）+x＞0即log₂（-x+2）+x＞0，
∵-x+2≥1，可得log₂（-x+2）≥0，∴不等式log₂（-x+2）+x＞0在0＜x≤1時恒成立
∴不等式f^-1（-x）+x＞0的解集為（0，1]

點評：本題給出分段函數，求函數的反函數表達式，并依此解關于x的不等式f^-1（-x）+x＞0，著重考查了反函數的求法和不等式的解法等知識，屬于中檔題．