Question

已知函數f（x）=sinx+cos（x-

π

6

），x∈R．
（I）求f（x）的單調增區間及f（x）圖象的對稱軸方程；
（II）設△ABC中，角A、B的對邊分別為a、b，若B=2A，且b=2af（A-

π

6

），求角C的大小．

Answer 1

分析：（1）將函數表達式展開合并，再用輔助角公式化簡，得f（x）=

3

sin（x+

π

6

）．再根據正弦函數單調區間和對稱軸的公式，不難求出f（x）的單調增區間及f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）由b=2af（A-

π

6

）結合（1）的表達式，得b=2

3

asinA，再用正弦定理結合二倍角的正弦公式，算出cosA=

3

sinA，得tanA=

3

3

，結合特殊角的正切值得到A=

π

6

，所以B=2A=

π

3

，最后根據三角形內角和定理，可得角C的大小．

解答：解   （1）f（x）=sinx+cos（x-

π

6

）=sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx=

3

2

sinx+

3

2

cosx
∴f（x）=

3

（sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

）=

3

sin（x+

π

6

）
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z），得-

2π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ
單調增區間為[-

2π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]，（k∈Z）
再設x+

π

6

=

π

2

+kπ，（k∈Z），得x=

π

3

+kπ，（k∈Z），即為f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）∵f（A-

π

6

）=

3

sin[（A-

π

6

）+

π

6

]=

3

sinA，
∴b=2af（A-

π

6

）=2

3

asinA，
∵b：a=sinB：sinA，
∴sinB=2

3

sinAsinA，即2sinAcosA=2

3

sinAsinA
∵A是三角形內角，sinA＞0
∴2cosA=2

3

sinA，得tanA=

3

3

∵A∈（0，π），∴A=

π

6

，得B=2A=

π

3

因此，C=π-（A+B）=

π

2

點評：本題將一個三角函數式進行化簡，并求函數的單調區間和圖象的對稱軸，著重考查了三角函數的化簡與求值、三角函數的圖象與性質、同角三角函數基本關系和二倍的三角函數等知識，屬于中檔題．