Question

某國采用養老儲備金制度.公民在就業的第一年就交納養老儲備金，數目為a₁，以后每年交納的數目均比上一年增加d(d＞0),因此，歷年所交納的儲備金數目a₁,a₂,…是一個公差為d的等差數列.與此同時，國家給予優惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利.這就是說，如果固定年利率為r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a₁(1+r)^n-1，第二年所交納的儲備金就變為a₂(1+r)^n-2,…….以T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額.

（1）寫出T_n與T_n-1(n≥2)的遞推關系式；

（2）求證：T_n=A_n+B_n,其中{A_n}是一個等比數列，{B_n}是一個等差數列.

Answer 1

（1）T_n=T_n-1(1+r)+a_n(n≥2)（2）證明見解析

解析:

（1）解  我們有T_n=T_n-1(1+r)+a_n(n≥2).

（2）證明  T₁=a₁,對n≥2反復使用上述關系式，得

T_n=T_n-1(1+r)+a_n

=T_n-2(1+r)²+a_n-1(1+r)+a_n

=…

=a₁(1+r)^n-1+a₂(1+r)^n-2+…+a_n-1(1+r)+a_n.                               ①

在①式兩端同乘1+r，得

(1+r)T_n=a₁(1+r)ⁿ+a₂（1+r）^n-1+…+a_n-1(1+r)²

+a_n(1+r).                                                          ②

②-①,得

rT_n=a₁(1+r)ⁿ+d［(1+r)^n-1+(1+r)^n-2+…+(1+r)］-a_n

=［(1+r)ⁿ-1-r］+a₁(1+r)ⁿ-a_n,

即T_n=(1+r)ⁿ-n-.

如果記  A_n=(1+r)ⁿ,B_n=--n,

則  T_n=A_n+B_n,

 其中{A_n}是以(1+r)為首項，以1+r（r＞0）為公比的等比數列；{B_n}是以--為首項，-為公差的等差數列.