Question

(2007北京朝陽模擬)如下圖，棱長為1的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點，D是點A在平面BCD內的射影．

(1)求直線EF與直線BC所成角的大小；

(2)求點O到平面ACD的距離；

(3)求二面角A－BE－F的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)因為E、F分別是棱AD、CD的中點．所以EF∥AC． 所以∠BCA是EF與BC所成角． ∵正四面體ABCD，∴△ABC為正三角形， 所以∠BCA=60°． 即EF與BC所成角的大小是60°． (2)如圖，連結AO，AF，因為F是CD的中點，且△ACD，△BCD均為正三角形， 所以BF⊥CD，AF⊥CD． 因為，所以CD⊥面AFB． 因為面ACD．所以面AFB⊥面ACD． 因為ABCD是正四面體，且O是點A在面BCD內的射影，所以點O必在正三角形BCD的中線BF上． 在面ABF中，過O做OG⊥AF，垂足為G．所以OG⊥面ACD． 即OG的長為點O到面ACD的距離． 因為正四面體ABCD的棱長為1， 在△ABF中，容易求出， 因為△AOF∽△OGF，故由相似比易求出． 所以點O到平面ACD的距離是． (3)設△ABD中，AB邊的中線交BE于H，連結CH，則由ABCD為正四面體知CH⊥面ABD． 設HD的中點為K，則FK∥CH．所以FK⊥面ABD． 在面ABD內，過點K作KN∥AD，KN交BE于M，交AB于N， 因為BE⊥AD，所以NM⊥BE． 連結FM，所以FM⊥BE． 所以∠NMF是所求二面角的平面角． 因為， 所以． 所以． 所以所求二面角的大小為 (或者由正四面體的對稱性，可轉求二面角的大小)．