Question

(本小題滿分16分)
橢圓:的左、右頂點分別、，橢圓過點且離心率.

（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓上異于、兩點的任意一點作軸，為垂足，延長到點，且，過點作直線軸，連結并延長交直線于點，線段的中點記為點.
①求點所在曲線的方程；
②試判斷直線與以為直徑的圓的位置關系， 并證明.

Answer 1

（1）（2）①②直線與圓相切，證明：AQ的方程為 , ,,,
,∴，∴直線QN與圓O相切

試題分析：（1）因為橢圓經過點（0，1），所以，又橢圓的離心率得，
即，由得，所以，
故所求橢圓方程為。
（2）①設，則，設，∵HP=PQ，∴ 即，將代入得，
所以Q點在以O為圓心，2為半徑的圓上，即Q點在以AB為直徑的圓O上。
②又A（－2，0），直線AQ的方程為，令，則，
又B（2，0），N為MB的中點，∴，，
∴
，∴，∴直線QN與圓O相切。
點評：最后一問判斷直線與圓的位置關系轉化為向量簡化了解題