Question

若實數a，b，c，d滿足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、2

  2

• D、8

Answer 1

分析：由題設b+a²-3lna=0，設b=y，a=x，得到y=3lnx-x²；c-d+2=0，設c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=3lnx-x²與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答：解：∵實數a、b、c、d滿足：
（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b+a²-3lna=0，設b=y，a=x，
則有：y=3lnx-x²
c-d+2=0，設c=x，d=y，則有：y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=3lnx-x²與直線y=x+2之間的最小距離的平方值
對曲線y=3lnx-x²求導：y'（x）=

3

x

-2x，
與y=x+2平行的切線斜率k=1=

3

x

-2x，
解得：x=1或x=-

3

2

（舍）
把x=1代入y=3lnx-x²，得：y=-1，
即切點為（1，-1）
切點到直線y=x+2的距離：

|1+1+2|

2

=2

2

∴（a-c）²+（b-d）²的最小值就是8．
故選：D．

點評：本題考查對數運算法則的應用，是中檔題，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運用．