Question

設(shè)三次函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d(a＜b＜c)，在x＝1處取得極值，其圖像在x＝m處的切線的斜率為－3a．

(1)求證：；

(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[s，t]上單調(diào)遞增，求|s－t|的取值范圍；

(3)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k(k是與a，b，c，d無(wú)關(guān)的常數(shù))，當(dāng)x≥k時(shí)，恒有恒成立？若存在，試求出k的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)，由題設(shè)，得　①

　　　②

　　∵

　　由①代入②得

　　得　③

　　將代入中，得　④

　　由③、④得；…………5分

　　(1)由(1)知，

　　∴方程的判別式有兩個(gè)不等實(shí)根，

　　又，∴

　　∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

　　∴函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，∴，

　　由知．

　　∵函數(shù)在區(qū)間[s，t]上單調(diào)遞增，∴[s，t]，

　　∴，即的取值范圍是，…………10分

　　(2)由，即

　　∵，令，

　　要使在上恒成立，

　　只需　即，∴或

　　由題意，得

　　∴存在實(shí)數(shù)k滿足條件，即k的最小值為．…………14分