Question

已知直線l：y=x+2，與拋物線x²=y交于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）兩點，l與x軸交于點C（x_C，0）．
（1）求證：

1

xA

+

1

xB

=

1

xC

；
（2）求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積；
（3）某同學利用TI-Nspire圖形計算器作圖驗證結果時（如圖1所示），嘗試拖動改變直線l與拋物線的方程，發現

1

xA

+

1

xB

與

1

xC

的結果依然相等（如圖2、圖3所示），你能由此發現出關于拋物線的一般結論，并進行證明嗎？

Answer 1

分析：（1）聯立直線與拋物線可得A，B的橫坐標，利用條件驗證即可得到結論；
（2）利用定積分知識可求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積；
（3）設出直線的一般式與拋物線聯立，利用韋達定理，即可證明結論．

解答：（1）證明：由

y=x+2 x2=y

，解得

x=-1 y=1

，

x=2 y=4

…（2分）
不妨設x_A=-1，x_B=2，
對于直線l，令y=0，得x_C=-2…（3分）
左邊=

1

xA

+

1

xB

=-1+

1

2

=-

1

2

，右邊=

1

xC

=-

1

2

，
左邊=右邊，原命題得證…（4分）
（2）解：S=

∫

2 -1

(x+2-x2)dx=

x2

2

+2x-

x3

3

|

2 -1

=(2+4-

8

3

)-(

1

2

-2+

1

3

)=

9

2

…（7分）
（3）解：結論：已知直線l：y=kx+b，與拋物線x²=y交于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）兩點，l與x軸交于點C（x_C，0），則

1

xA

+

1

xB

=

1

xC

…（9分）
證明：

y=kx+b x2=y

，x²-kx-b=0，x_A+x_B=k，x_Ax_B=-b…（11分）
對于直線l，令y=0，得xC=-

b

k

…（12分）
左邊=

1

xA

+

1

xB

=

xA+xB

xAxB

=

k

-b

=-

k

b

，右邊=

1

xC

=

1

- b k

=-

k

b

，
左邊=右邊，原命題得證…（14分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查定積分知識，考查韋達定理的運用，考查學生的探究能力，屬于中檔題．