Question

（1）已知sinα=，且角α的終邊在第二象限，求cosα和tanα的值；

（2）已知tanα=3，求sinα和cosα的值；

（3）已知sinα=m(|m|≤1)，求cosα和tanα的值.

Answer 1

思路分析：（1）直接利用同角三角函數的基本關系式和角的范圍求值；（2）應注意角的終邊位置有兩種即第一、三象限，所以結果有兩種；（3）則需要分類討論.

解：（1）因為sin²α+cos²α=1，

所以cos²α=1-sin²α=1-()²=.

又因為α是第二象限角，所以cosα＜0，

于是.

從而.

（2）因為sin²α+cos²α=1，所以sin²α=1-cos²α.

又因為，

所以.

于是,.

因為tanα=3＞0，所以角α是第一或第三象限的角.

如果α是第一象限角，那么

,sinα=tanαcosα=.

如果α是第三象限角，那么

，sinα=tanαcosα=.

（3）①若m=±1，由sin²α+cos²α=1,得cos²α=1-sin²α=1-(±1)²=0,

所以cosα=0，tanα不存在.

②若m=0，則角α的終邊在x軸上，由sin²α+cos²α=1,得cos²α=1-sin²α=1-0²=1.

當角α的終邊在x軸正半軸上時，cosα=1,tanα=0;

當角α的終邊在x軸負半軸上時，cosα=-1,tanα=0.

③若0＜|m|＜1時,

當角α的終邊在第一象限或第四象限時，由sin²α+cos²α=1,得，；

當角α的終邊在第二象限或第三象限時，由sin²α+cos²α=1,得，.

綜上,可知

深化升華 利用同角的三角函數基本關系式，在已知一個三角函數值而求其他三角函數值時，應首先根據所給的三角函數值和已知條件判斷角的終邊位置，如果沒法判斷的話應注意分類討論.而在具體求解時應首先利用平方關系，再利用其他關系.