Question

已知直線l上有一列點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，其中n∈N^*，x₁=1，x₂=2，點P_n+2分有向線段

PnPn+1

所成的比為λ（λ≠-1）．
（1）寫出x_n+2與x_n+1，x_n之間的關系式；
（2）設a_n=x_n+1-x_n，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）直接利用向量的定比分點坐標公式寫出x_n+2與x_n+1，x_n之間的關系式；
（2）由a_n=x_n+1-x_n，求出a₁，再推出a_n和a_n+1的關系，說明是等比數列，然后求數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）因為點P_n+2分有向線段

PnPn+1

所成的比為λ，
所以

PnPn+2

=λ 

PnPn+1

，即由定比分點坐標公式得x_n+2=

xn+λxn+1

1+λ

．
（2）a₁=x₂-x₁=1，
因為a_n+1=x_n+2-x_n+1=

xn+λxn+1

1+λ

-x_n+1
=-

1

1+λ

（x_n+1-x_n）=-

1

1+λ

a_n，
∴

an+1

an

=-

1

1+λ

，即{a_n}是以a₁=1為首項，-

1

1+λ

為公比的等比數列．
∴a_n=（-

1

1+λ

）^n-1．

點評：本題考查線段的定比分點，數列遞推式，考查轉化思想，考查邏輯思維能力，是中檔題．