Question

已知函數在上是偶函數.對于都有成立。當x_1，且時，都有，給出下列命題：①；②直線是函數的圖象的一條對稱軸；③函數在上為增函數；④函數在上有四個零點，其中所有正確命題的序號為_______________.

Answer 1

① ② ④

解析試題分析：①：對于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，則f（-3+6）=f（-3）+f （3），又因為f（x）是R上的偶函數，所以f（3）=0．
②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期為6，
又因為f（x）是R上的偶函數，所以f（x+6）=f（-x），
而f（x）的周期為6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），
所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸．
③：當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有＞0
所以函數y=f（x）在[0，3]上為增函數，
因為f（x）是R上的偶函數，所以函數y=f（x）在[-3，0]上為減函數
而f（x）的周期為6，所以函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數．
④：f（3）=0，f（x）的周期為6，
所以：f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0
函數y=f（x）在[-9，9]上有四個零點．
故答案為：①②④．
考點：本題主要考查函數的性質--單調性，周期性，奇偶性等。
點評：小綜合題，對函數的性質及圖象的對稱性等解析了全面考查。