Question

如下圖已知拋物線y²＝2px(p＞0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5．過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M．

(1)求拋物線方程；

(2)求M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標；

(3)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當K(m，0)是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)拋物線y2＝2px的準線為x＝，于是，＝5，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x， 　　(2)∵點A的坐標是(4，4)，由題意得B(0，4)，M(0，2)． 　　又∵F(1，0)， 　　∴KFA＝，又MN⊥FA， 　　∴KMN＝， 　　則FA的方程為y＝(x－1)，MN的方程為y－2＝，解方程組得 　　∴N()． 　　(3)由題意得，圓M的圓心是點(0，2)，半徑為2，當m＝4時，直線AK的方程為x＝4，此時，直線AK與圓M相離， 　　當m≠4時，直線AK的方程為y＝(x－m)， 　　即為4x－(4－m)y－4m＝0， 　　圓心M(0，2)到直線AK的距離d＝，令d＞2， 　　解得m＞1． 　　∴當m＞1時，直線AK與圓M相離； 　　當m＝1時，直線AK與圓M相切； 　　當m＜1時，直線AK與圓M相交．