Question

已知數列{a_n}滿足S_n+S_n-1=ta_n²（t＞0，n≥2），且a₁=0，n≥2時，a_n＞0．其中S_n是數列a_n的前n項和．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（III）若對于n≥2，n∈N*，不等式

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

＜2恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）充分利用相鄰兩項之間的關系，利用作差法即可獲得數列特點．結合等差數列的特點根據分類討論即可獲得問題的解答；
（2）根據第（1）問題結論利用裂項的方法即可求的不等式左邊當n≥2時的前n項和，進而問題轉化為t²（1-

1

n

）＜2對于n≥2，n∈N^*恒成立，再結合放縮法即可獲得問題的解答．

解答：解：（I）依題意，

Sn+Sn-1=t a 2 n ；(n≥2)(1) Sn-1+Sn-2=t a 2 n-1 ．(2)

，
（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²）（n≥3）．
由已知a_n+a_n-1≠0，故a_n-a_n-1=

1

t

（n≥3），
由a₁=0，S₂+S₁=ta₂²，得a₂=ta₂²，
∴a₂=0（舍）或a₂=

1

t

，
即數列{a_n}從第二項開始是首項為

1

t

，公差為

1

t

的等差數列．
所以an=a2+(n-2)d=

1

t

+(n-2)?

1

t

=

n-1

t

，（n≥2），又當n=1時，a₁=

1-1

t

=0，
所以a_n=

n-1

t

（n∈N^﹡）．
（II）設T_n=

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=

t2

1×2

+

t2

2×3

+

t2

3×4

+…+

t2

(n-1)×n

=t²（1-

1

n

）
要使T_n＜2，對于n≥2，n∈N^*恒成立，只要T_n=t²（1-

1

n

）＜t²≤2成立，所以0＜t≤

2

．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了通項與前n項和的關系、等差數列的知識、分類討論的思想以及恒成立的思想和問題轉化的能力．值得同學們體會反思．