Question

已知數列{a_n}首項a₁=2，且對任意n∈N^*，都有a_n+1=ba_n+c，其中b，c是常數．
（1）若數列{a_n}是等差數列，且c=2，求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}是等比數列，且|b|＜1，當從數列{a_n}中任意取出相鄰的三項，按某種順序排列成等差數列，求使{a_n}的前n項和S_n＜

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成立的n取值集合．

Answer 1

分析：（1）根據a_n+1=ba_n+2，求出數列的前3項，利用數列{a_n}是等差數列，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}是等比數列，則c=0，由條件知，a₁，a₂，a₃按某種順序排列成等差數列，我們知道，等差數列總是單調的（常數列除外），討論前三項2，2b，2b²按某種順序排列成等差數列的情況，可確定數列的公比，進而了求數列的和，利用S_n＜

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，即可求得結論．

解答：解：（1）a_n+1=ba_n+2
∵a₁=2，∴a₂=2b+2，a₃=2b²+2b+2
∵數列{a_n}是等差數列，
∴2（2b+2）=2+2b²+2b+2
∴b²-b=0
∴b=0或1
b=0時，a_n=2；b=1時，a_n+1-a_n=2，∴a_n=2n；
（2）若數列{a_n}是等比數列，則c=0
由條件知，a₁，a₂，a₃按某種順序排列成等差數列，我們知道，等差數列總是單調的（常數列除外），
現在討論前三項2，2b，2b²按某種順序排列成等差數列的情況．
若0＜b＜1，則2＞2b＞2b²，是單調的，但它不是等差數列，調整順序后又不單調，所以不能組成等差數列，從而-1＜b＜0，
此時，2b＜0，2b＜2b²＜2，所以2b，2b²，2組成等差數列，所以2b+2=4b²，解得b=-

1

2

從而a_n=2×（-

1

2

）^n-1，
∴S_n=

4

3

[1-（-

1

2

）ⁿ]
令S_n＜

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，即

4

3

[1-（-

1

2

）ⁿ]＜

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，
化簡，得（-

1

2

）ⁿ＞（

1

2

）¹⁰
故當n為偶數時，有n＜10
所以，n=2，4，6，8．

點評：本題考查等差數列的定義，考查數列的通項與求和，解題的關鍵是確定數列的公比，正確求和，屬于中檔題．