Question

定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=f(x)，當x∈[0，2]時，f(x)=(

1

2

)|x-m|
（1）求m的值；
（2）設g（x）=log₂x，證明：方程f（x）=g（x）只有一個實數解．

Answer 1

分析：（1）由x∈[0，2]時，f（x+2）=f（x）有f（2）=f（0），建立關于m的等式關系，解之即可求出m的值；
（2）由（1）得f（x）的解析式，然后根據函數f（x）的周期性求出函數f（x）的值域，討論x，當x≥2時，方程f（x）=g（x）無解，當1＜x＜2時，記F（x）=f（x）-g（x），然后根據根的存在性定理可知函數F（x）在x∈（1，2）內有唯一零點
即方程f（x）=g（x）在x∈（1，2）上有唯一解，當0＜x≤1時，此時方程無解，從而證得結論．

解答：解：（1）由x∈[0，2]時，f（x+2）=f（x）有f（2）=f（0）
得|2-m|=|m|
∴m=1
（2）證明：由（1）得f（x）=(

1

2

)|x-1|
當x∈[0，2]時，f（x）∈[

1

2

，1]
又f（x）是周期為2的周期函數，故f（x）的值域為[

1

2

，1]
當x＞2時，g（x）＞1＞f（x），故此時方程無解；
當x=2時，f（x）≠g（x），方程無解
當1＜x＜2時，記F（x）=f（x）-g（x）=(

1

2

)x-1-log2x，
F（1）•F（2）=-

1

2

＜0，且F（x）單調遞減，所以函數F（x）在x∈（1，2）內有唯一零點
即方程f（x）=g（x）在x∈（1，2）上有唯一解；
當0＜x≤1時，g（x）≤0＜f（x），此時方程無解．
綜上可知，方程f（x）=g（x）只有一個實數解．

點評：本題主要考查了函數的零點與方程根的關系，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．