Question

已知{a_n}為遞減的等比數列，且{a₁，a₂，a₃}?{-4，-3，-2，0，1，2，3，4}．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當bn=

1-(-1)n

2

an時，求證：b₁+b₂+b₃+…+b2n-1＜

16

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由數列是遞減的等比數列得q是正數，再從集合求出前三項，求出q代入通項公式即可；
（2）由（1）求出b_n，并對n分類討論：n=2k和n=2k-1化簡b_n，代入不等式的左邊由等比數列的前n項和公式化簡，再進行證明．

解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是遞減數列，∴數列{a_n}的公比q是正數，
∵{a₁，a₂，a₃}?{-4，-3，-2，0，1，2，3，4}，
∴a₁=4，a₂=2，a₃=1，∴q=

a2

a1

=

1

4

=

1

2

，
∴an=a1qn-1=

8

2n

．
（Ⅱ）由（1）得，bn=

1-(-1)n

2

an=

8[1-(-1)n]

2n+1

，
當n=2k（k∈N^*）時，b_n=0，
當n=2k-1（k∈N^*）時，b_n=a_n，
即bn=

0，(n=2k，k∈N*) an，(n=2k-1，k∈N*).

∴b₁+b₂+b₃+…+b_2n-2+b_2n-1=a₁+a₃+…+a_2n-1
=

4[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

16

3

[1-(

1

4

)n]＜

16

3

．

點評：本題考查了等比數列是遞減數列的特點，通項公式和前n項和公式應用，考查了分類討論思想．