Question

本小題滿分12分）
已知關于x的二次函數f(x)＝ax²－4bx＋1.
(I)已知集合P＝{－1,1,2,3,4,5}，Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y＝f(x)在區間[1，＋∞)上是增函數的概率；
(II)在區域內隨機任取一點(a，b)．求函數y＝f(x)在區間[1，＋∞)上是增函數的概率．

Answer 1

(1)∵a∈P，∴a≠0.
∴函數f(x)＝ax²－4bx＋1的圖象的對稱軸為x＝，
要使f(x)＝ax²－4bx＋1在區間[1，＋∞)上為增函數，
當且僅當a>0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，則b＝－2，－1；
若a＝2，則b＝－2，－1,1；
若a＝3，則b＝－2，－1,1；
若a＝4，則b＝－2，－1,1,2；
若a＝5，則b＝－2，－1,1,2.
所求事件包含基本事件的個數是2＋3＋3＋4＋4＝16.
∴所求事件的概率為＝.
(2)由條件知a>0，∴同(1)可知當且僅當2b≤a且a>0時，
函數f(x)＝ax²－4bx＋1在區間[1，＋∞)上為增函數，
依條件可知試驗的全部結果所構成的區域
，為△OAB，所求事件構成區域為如圖陰影部分．

由得交點D，
∴所求事件的概率為P＝＝.

解析