Question

①函數f(x)=-

1

x

+lgx的零點所在的區間是（2，3）；②曲線y=4x-x³在點（-1，-3）處的切線方程是y=x-2；③將函數y=2^x+1的圖象按向量a=（1，-1）平移后得到函數y=2^x+1的圖象；④函數y=

lo g (x2-1) 1 2

的定義域是（-

2

，-1）∪（1，

2

）⑤

a

•

b

＞0是

a

、

b

的夾角為銳角的充要條件；以上命題正確的是

①②

．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①先求出f（2）f（3）＜0，再由二分法進行判斷．
②根據導數的幾何意義求出函數在x=-1處的導數，從而得到切線的斜率，再利用點斜式方程寫出切線方程即可．
③先根據平移向量的坐標，利用函數圖象的平移法則，我們可以求出平移后函數的解析式．
④根據偶次根號下的被開方數大于等于零，對數的真數大于零，列出不等式組，進行求解再用集合或區間的形式表示出來．
⑤先看當

a

•

b

＞0時，能否推出

a

、

b

的夾角是否為銳角，再看當

a

、

b

的夾角為銳角時，

a

•

b

＞0是否一定成立，然后根據充分條件、必要條件的定義進行判斷．

解答：解：①由于f（2）f（3）=（-

1

2

+lg2）（-

1

3

+lg3）＜0，
根據二分法，得函數在區間（2，3]內存在零點．正確；
②y'=2-3x²
y'|_x=-1=-1
而切點的坐標為（-1，-3）
∴曲線y=4x-x³在x=1的處的切線方程為y=x-2；正確；
③函數y=2^x+1的圖象按

a

=（1，-1）平移后得到的函數解析式為：y=2^x-1+3-1即y=2^x-1+2；故錯；
④由log

1

2

(x2-1)≥0，且x²-1＞0，解得-

2

≤x＜-1或1＜x≤

2

，故錯．
⑤當

a

•

b

＞0時，

a

、

b

的夾角可能為銳角，也可能為零角，故充分性不成立．
當

a

、

b

的夾角為銳角時，

a

•

b

＞0一定成立，故必要性成立．
綜上，

a

•

b

＞0是

a

、

b

的夾角為銳角的必要而不充分條件，故錯．
故答案為：①②．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數的零點問題、利用導數研究曲線上某點切線方程等，考查運算求解能力，屬于基礎題．