Question

已知拋物線．
(1)若圓心在拋物線上的動圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經過的定點坐標；
(2)拋物線的焦點為,若過點的直線與拋物線相交于兩點,若,求直線的斜率；
(3)若過正半軸上點的直線與該拋物線交于兩點,為拋物線上異于的任意一點,記連線的斜率為試求滿足成等差數列的充要條件．

Answer 1

（1）；（2）；（3）直線與軸相垂直

試題分析：（1）本題考查拋物線的定義，由于直線是已知拋物線的的準線，而圓心在拋物線上的圓既然與準線相切，則它必定過拋物線的焦點，所以所有的圓必過拋物線的焦點，即定點；（2）這是直線與拋物線相交問題，設如設，，則，兩式相減有，則，下面就是要求或，為此，我們設直線方程為，把它與拋物線方程聯立方程組，消去，就可得到關于的方程，可得，，只是里面含有，這里解題的關鍵就是已知條件怎樣用？實際上有這個條件可得，這樣與剛才的，合起來就能求出；（3）設，成等差數列即，仿照（2）此式為①，由于直線可能與軸垂直，但不會與軸垂直，設直線的方程為，代入拋物線方程消去得關于的二次方程，可得，這樣①式可化為，從而得到，即直線的方程為，與軸垂直．
試題解析：(1) 由定義可得定點(1,0);（4分）
(2)設,由,得（5分）
由方程組,得
得（7分）聯立上述方程求得:．（9分）
(3)（理）設直線的方程為,代入,得:,設,則（11分）
若
，即
有，即：
由此得：，，（15分）
所以當直線的方程為時，也就是成立的充要條件是直線與軸相垂直。（16分）