Question

（2009•閘北區一模）設f(x)=2cos2x+

3

sin2x，g(x)=

1

2

f(x+

5π

12

)+x+a，其中a為非零實常數．
（1）若f(x)=1-

3

，x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（2）試討論函數g（x）在R上的奇偶性與單調性，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）先根據二倍角公式以及輔助角公式對函數進行整理，再結合特殊角的三角函數值即可得到結論．
（2）先求出函數g（x）的解析式，再通過討論a得到其奇偶性，并通過舉例得到其單調性即可．

解答：解：（1）由已知f(x)=2cos2x+

3

sin2x=1+2sin(2x+

π

6

)，（2分）
由1+2sin(2x+

π

6

)=1-

3

得：sin(2x+

π

6

)=-

3

2

，（1分）
∵-

π

3

≤x≤

π

3

，-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

（1分）
∴2x+

π

6

=-

π

3

，x=-

π

4

．         （2分）
（2）由已知，得g(x)=x-sin2x+a+

1

2

，（2分）
①∵當a=-

1

2

時，對于任意的x∈R，總有g（-x）=-x-sin（-2x）=-（x-sin2x）=-g（x），
∴g（x）是奇函數．（2分）（沒有過程扣1分）
②當a≠-

1

2

時，∵g(

π

2

)≠±g(-

π

2

)或g（π）≠±g（-π）等
所以，g（x）既不是奇函數，又不是偶函數．（2分）（沒有過程扣1分）
∵g(0)＞g(

π

6

)，故g（x）不是單調遞增函數，（1分）
又∵g(

π

6

)＜g(

π

2

)，故g（x）不是單調遞減函數．（1分）
∴g（x）既不是單調遞減函數，也不是單調遞增函數．             （沒舉反例扣1分）
注：用求導的方法做對給滿分
令g′（x）=1-2cos2x=0⇒x=kπ±

π

6

，
易得：g（x）在區間(kπ-

π

6

，kπ+

π

6

)(k∈Z)上遞增，在區間(kπ-

π

6

，kπ+

5π

6

)(k∈Z)上遞減．

點評：本題主要考查三角函數的單調性以及奇偶性．解決這類問題的關鍵在于對公式的熟練理解以及靈活運用．