Question

如圖所示，圓柱底面的直徑長度為，為底面圓心，正三角形的一個頂點在上底面的圓周上，為圓柱的母線，的延長線交于點， 的中點為.

（1）  求證：平面⊥平面；
（2）  求二面角的正切值.

Answer 1

（1）見解析；（2）.

本試題主要考查了面面儲值的判定和二面角的求解的綜合運用。
解：（1）證明： 正三角形ABP中，F為BP的中點， ∴AF⊥PB     …………1分
∵PC為圓柱的母線， ∴PC⊥平面ABC，
而AC在平面ABC內  ∴PC⊥AC ………………………………2分
∵AB為的直徑，∴ACB=90°即 AC⊥BC ………………………………3分
PCBC=C，∴AC⊥平面PBC， ………………………………………………4分
而PB在平面PBC內, ∴AC⊥PB            ……………………………………5分
ACAF=A，∴PB⊥平面ACF，…………………………………………………6分
而PB在平面ABP內，∴平面ABP⊥平面ACF……………………………………7分
（2）  由（1）知AC⊥BC，PC⊥AC，同理PC⊥BC，
而PA=PB=PC=，可證RTABC≌RTPBC，
∴AC=BC=PC=2……8分
以C為原點，CA,CB,CP所在直線為X,Y,Z軸建立空間直角坐標系
則 ……………………………9分
∵PC⊥平面ABC，∴為平面CEB的一個法向量………………10分
設平面CEF的一個法向量，
則 即 ，令y=-1則      ……………………11分
設二面角F-CE-B的平面角為，
∴……………………………………………12分
∴， ……………………………………………………………………13分
所以二面角F-CE-B的正切值為 ………………………………………14分