Question

（本小題滿分13分）

設函數。

(1)求的單調區間；

(2)若當時,(其中)不等式恒成立,求實數的取值范圍；

(3)試討論關于的方程:在區間上的根的個數。

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）函數的定義域為.  

 由得;   由得,                               

則增區間為,減區間為.                                   

(2)令得,由(1)知在上遞減,在上遞增,    由,且,    

時, 的最大值為,故時,不等式恒成立. 

(3)方程即.記,則.由得;由得.

所以g(x)在[0,1]上遞減，在[1，2]上遞增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 。

所以，當a＞1時，方程無解；當3-2ln3＜a≤1時，方程有一個解；當2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3時，方程有兩個解；當a=2-2ln2時，方程有一個解；當a＜2-2ln2時，方程無解.                                             

綜上所述，a時，方程無解；

或a=2-2ln2時，方程有唯一解；

時，方程有兩個不等的解

【解析】略