Question

已知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

）．記f（x）=

m

•

n

（1）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（2）求當x∈（0，π）時，函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

）．f（x）=

m

•

n

根據平面向量的數量積公式，結合降冪公式（二倍角公式逆用）及輔助角公式，將函數的解析式化為正弦型函數的形式，進而根據正弦型函數的性質，即可求出函數的周期，求出函數f（x）的單調遞增區間；
（2）由（1）中函數的解析式，結合x的范圍，求出相位的范圍，直接求解函數的最值．

解答：解：（1）f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos^₂

x

4

   
=

3

2

sin

x

2

+

1

2

+

1

2

cos

x

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

．
最小正周期為T=

2π

1 2

=4π．
 由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）．  
∴4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，
函數遞增區間為[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（2）x∈（0，π），∴

x

2

+

π

6

∈（

π

6

，

2π

3

），
∴

1

2

＜sin（

x

2

+

π

6

）≤1，
∴f_max∈（1，

3

2

]．

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，正弦型函數的圖象和性質，根據平面向量的數量積公式和輔助角公式，求出函數的解析式是解答本題的關鍵．