Question

（本小題滿分12分）已知不等式ax²－3x＋2＞0的解集為{x|x＜1或x＞b}，

(1)求a，b；

(2)解不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；

(2)當c＞2時，不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為{x|2＜x＜c}；

當c＜2時，不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為{x|c＜x＜2}；

當c＝2時，不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為∅.

【解析】

試題分析：（1）一元二次不等式解集的端點就是對應一元二次方程的根，再利用一元二次方程根與系數的關系解出a，b．

（2）先把一元二次不等式變形到（x-2）（x-c）＜0，分當c＞2時、當c＜2時、當c=2時，三種情況求出此不等式的解集．

解：(1)因為不等式ax²－3x＋2＞0的解集為{x|x＜1或x＞b}，所以x₁＝1與x₂＝b是方程ax²－3x＋2＝0的兩個實數根，且b＞1.

由根與系數的關系，得      ------3分

解得所以     --------5分

(2)所以不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0，

即x²－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.   ------7分

①當c＞2時，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為{x|2＜x＜c}；  ------8分

②當c＜2時，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為{x|c＜x＜2}；  -----9分

③當c＝2時，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為∅.    ----------10分

綜上所述：當c＞2時，不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為{x|2＜x＜c}；

當c＜2時，不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為{x|c＜x＜2}；

當c＝2時，不等式ax²－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為∅.   -------12分

考點：本試題主要考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式與一元二次方程的關系，屬于基礎題．

點評：解決該試題的關鍵是能夠對于二次不等式的求解的步驟明確：第一看開口方向，第二看判別式，確定是否有解，然后利用圖像，得到解集。