Question

設橢圓的中心是坐標原點,長軸在x軸上,離心率e=,已知點P(0,)到這個橢圓上點的最遠距離為,求這個橢圓方程,并求橢圓上到點P的距離為的點的坐標.

Answer 1

橢圓方程為+y²=1.

∵|PM|_max=時,y=-,∴x=±.

∴橢圓上到P點的距離為7的點有兩個(±,-).

解析:

設橢圓方程為+=1(a>b>0).

∵e==,

∴c²=a².

由a²=b²+c²,得a=2b,故橢圓方程是+=1(b>0).

設M(x,y)是橢圓上任意一點,則x²=4b²-4y²,

∴|PM|²=x²+(y-)²=4b²-4y²+y²-3y+=-3y²-3y++4b²=-3(y+)²+3+4b².

∵-b≤y≤b(討論與［-b,b］間的關系),

若b>,則當y=-時,|PM|_max==,∴b=1.

若0<b<,則當y=-b時,|PM|_max==.

∴|b+|=.

∴b=-與b<矛盾.

綜上所述b=1.

∴所求橢圓方程為+y²=1.

∵|PM|_max=時,y=-,∴x=±.

∴橢圓上到P點的距離為7的點有兩個(±,-).