Question

已知函數f（x）同時滿足如下三個條件：①定義域為[-1，1]；②f（x）是偶函數；③x∈[-1，0]時，f(x)=

1

e2x

-

a

ex

，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式，并求出函數f（x）的最大值；
（Ⅱ）當a≠0，x∈[0，1]時，函數g(x)=(

x2

a

+x-2-

3

a

)[e2x-f(x)]，若g（x）的圖象恒在直線y=e上方，求實數a的取值范圍（其中e為自然對數的底數，e=2.71828…）．

Answer 1

（Ⅰ）任取x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，f(-x)=

1

e-2x

-

a

e-x

=e2x-aex，
又f（x）是偶函數，故x∈[0，1]時，f（x）=f（-x）=e^2x-ae^x．
由f（x）是定義域為[-1，1]的偶函數可知，f（x）在x∈[0，1]的最大值即可為f（x）的最大值．
當x∈[0，1]時，令t=ex∈[1，e]，f(x)=h(t)=(t-

a

2

)2-

a2

4

a

2

≤

e+1

2

，即a≤e+1時，fmax(x)=h(e)=f(1)=e2-ae；

a

2

＞

e+1

2

，即a＞e+1時，fmax(x)=h(1)=f(0)=1-a；
綜上可知：
a≤e+1時，f_max（x）=f（1）=e²-ae；a＞e+1時，f_max（x）=f（0）=1-a．
（Ⅱ）g(x)=(

x2

a

+x-2-

3

a

)[e2x-f(x)]
=(

x2

a

+x-2-

3

a

)(e2x-e2x+aex)=(

x2

a

+x-2-

3

a

)•aex=(x2+ax-2a-3)ex
要x∈[0，1]時，函數g（x）的圖象恒在直線y=e上方，
即x∈[0，1]時，g_min（x）＞e成立，
g′（x）f'（x）=（x+a+3）（x-1）e^x，令g′（x）=0，解得x₁=-a-3，x₂=1
①當-a-3≤0，即a≥-3且a≠0時，可得x∈[0，1]時g′（x）≤0，故g（x）在區間[0，1]單調遞減．
此時g_min（x）=g（1）=（-2-a）e＞e?a＜-3，與a≥-3且a≠0矛盾．
②當0＜-a-3＜1，即-4＜a＜-3時，可得x∈[0，-a-3]時，g′（x）≥0，x∈[-a-3，1]時g′（x）≤0，可知f（x）在區間[0，-a-3]單調遞增．在區間[-a-3，1]單調遞減．
此時g_min（x）＞e?g（0）＞e，且g（1）＞e，
又g(0)=-2a-3＞e?a＜

-e-3

2

，g(1)＞e?a＜-3
故-4＜a＜-3時可滿足題意；
③-a-3≥1，即a≤-4時，可得x∈[0，1]時g′（x）≥0，可知g（x）在區間[0，1]單調遞增．
此時gmin(x)=g(0)=-2a-3＞e?a＜

-e-3

2

，又a≤-4．故a≤-4時可滿足題意.
綜上可知：a＜-3時，g（x）的圖象恒在直線y=e上方．