Question

本小題滿分12分）設M是由滿足下列條件的函數f (x)構成的集合：①方程f (x)一x=0有實根；②函數的導數滿足0＜＜1.

(1)若函數f(x)為集合M中的任意一個元素，證明：方程f(x)一x=0只有一個實根；

（2）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；

(3)設函數f(x)為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意，

證明：

 

Answer 1

【答案】

(1)令，則，故是單調遞減函數,

所以，方程，即至多有一解，又由題設①知方程有實數根，所以，方程有且只有一個實數根；(2)；(Ⅲ)不妨設，∵,∴單調遞增，∴,即，

令，則，故是單調遞減函數，

∴,即，

∴，則有

【解析】

試題分析：令，則，故是單調遞減函數,

所以，方程，即至多有一解，

又由題設①知方程有實數根，

所以，方程有且只有一個實數根…………………………………..4分

(2)易知，，滿足條件②；

令，

則，…………………………………..7分

又在區間上連續，所以在上存在零點，

即方程有實數根，故滿足條件①，

綜上可知，……………………………………8分

(Ⅲ)不妨設，∵,∴單調遞增，

∴,即，

令，則，故是單調遞減函數，

∴,即，

∴，則有….……………..….12分

考點：本題考查了導數的運用

點評：近幾年新課標高考對于函數與導數這一綜合問題的命制，一般以有理函數與半超越（指數、對數）函數的組合復合且含有參量的函數為背景載體，解題時要注意對數式對函數定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數單調性、導數運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數學思想（分類與整合、數與形的結合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數學運算的“力量”與數學思維的“技巧”完美結合.