Question

某專賣店銷售一新款服裝，日銷售量（單位為件）f（n）與時間n（1≤n≤30、n∈N^*）的函數關系如下圖所示，其中函數f（n）圖象中的點位于斜率為5和-3的兩條直線上，兩直線交點的橫坐標為m，且第m天日銷售量最大．
（Ⅰ）求f（n）的表達式，及前m天的銷售總數；
（Ⅱ）按以往經驗，當該專賣店銷售某款服裝的總數超過400件時，市面上會流行該款服裝，而日銷售量連續下降并低于30件時，該款服裝將不再流行．試預測本款服裝在市面上流行的天數是否會超過10天？請說明理由．

Answer 1

（I）根據題意，設f（n）=

5n+a(1≤n≤m) -3n+b(m≤n≤30)

，（n∈N^*）
而f（1）=2，∴5+a=2?a=-3．
又5m+a=-3m+b，∴b=8m+a=8m-3，
∴f（n）=

5n-3(1≤n≤m) -3n+8m-3(m≤n≤30)

．（n∈N^*）
由f（m）=57得m=12．
∴f（n）=

5n-3(1≤n≤12) -3n+93(12≤n≤30)

（n∈N^*）
前12天的銷售總量為5（1+2+3++12）-3×12=354件．

（II）第13天的銷售量為f（13）=-3×13+93=54件，
而354+54＞400件，
∴從第14天開始銷售總量超過400件，即開始流行．
設第x天的日銷售量開始低于30件（12＜x≤30），
即f（x）=-3x+93＜30，
解得x＞21．
∴從第22天開始日銷售量低于30件．
∵21-13=8，
∴該服裝流行的時間不超過10天．