Question

下面關于棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中的四個命題：
①與AD₁成60°角的面對角線的條數是8條；
②直線AA₁與平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

；
③從8個頂點中取四個點可組成 10 個正三棱錐；
④點A₁到直線BC₁的距離是

6

3

．
其中真命題的編號是

 

．

Answer 1

分析：①與AD₁成60°角的面對角線的條數是8條，由棱柱的面對角線的夾角與位置關系進行判斷；
②直線AA₁與平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

，求出線面角時行驗證；
③從8個頂點中取四個點可組成 10 個正三棱錐，所組成的正三棱錐只能是三個面對角線組成的三角形為底面，有此特征即可驗證；
④點A₁到直線BC₁的距離是

6

3

，求出點到線的距離時行驗證．

解答：解：①與AD₁成60°角的面對角線的條數是8條，由圖形中可以看出除了其所在面以及平行的兩個面外的四個表面中每個面的兩條面對角線都與AD₁成60°角，恰有8條，故命題正確；
②直線AA₁與平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

，取底面ABCD中點O，可證得∠AA₁O即是線AA₁與平面A₁BD所成角，求得線面角的余弦值為

6

3

，故此命題不對；
③從8個頂點中取四個點可組成 10 個正三棱錐，由圖形的結構知，以8個頂點為頂點，以此點出發的三條側棱為側棱可以 組成8個正三棱錐，由面對角線可以組成兩個正四面體，共可以組成10個正三棱錐，故命題正確；
④點A₁到直線BC₁的距離是

6

3

，由于A₁B₁⊥側面B₁C，且側面是正方形，連接B₁C與BC₁交于一點M，由正方形的性質知，此兩直線垂直，連接A₁M其長度即為所求點A₁到直線BC₁的距離，利用勾股定理解得，其長度是

6

2

，故命題不正確．
綜上知①③正確
故答案為：①③．

點評：本題考查棱柱的結構特征，解題的關鍵是對棱柱中的點線面的位置關系有著很好的理解，空間想像力比較強，才可以迅速找到判斷問題的思路，代且圖象研究此類問題是一個較好的辦法．