Question

已知函數滿足,對于任意R都有,且,令.
（1）求函數的表達式；
（2）求函數的單調區間；
（3）研究函數在區間上的零點個數.

Answer 1

(1) 解：∵，∴.      … 1分        
∵對于任意R都有,
∴函數的對稱軸為，即，得.    …… 2分
又，即對于任意R都成立，∴,且．
　∵，     ∴．　　　　∴．     …… 4分
(2) 解：     …… 5分
① 當時，函數的對稱軸為，
若，即，函數在上單調遞增；…… 6分
若，即，函數在上單調遞增，在上單調遞減．…… 7分
② 當時，函數的對稱軸為，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減．… 8分
綜上所述，當時，函數單調遞增區間為，
單調遞減區間為；       …… 9分
當時，函數單調遞增區間為和，
單調遞減區間為和．… 10分
(3)解：① 當時，由(2)知函數在區間上單調遞增，
　　　又，
　故函數在區間上只有一個零點．  …… 11分
�、� 當時，則，而，
　　，
（�。┤�，由于，
且，
此時，函數在區間上只有一個零點； 12分
�。áⅲ┤�，由于且，此時，函數在區間  
上有兩個不同的零點．          …… 13分
　綜上所述，當時，函數在區間上只有一個零點；
　　　　　　當時，函數在區間上有兩個不同的零點．  …… 14分

略