Question

（2010•棗莊模擬）拋物線D以雙曲線C：8y²-8x²=1的焦點F（0，c），（c＞0）為焦點．
（1）求拋物線D的標準方程；
（2）過直線l：y=x-1上的動點P作拋物線D的兩條切線，切點為A，B．求證：直線AB過定點Q，并求出Q的坐標；
（3）在（2）的條件下，若直線PQ交拋物線D于M，N兩點，求證：|PM|•|QN|=|QM|•|PN|

Answer 1

分析：（1）由題意，求出c值，從而得出F(0，

1

2

)，最后寫出拋物線D的標準方程；
（2）先設出切點坐標A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用導數的幾何意義求以A、B為切點的切線方程，再設出P（x₀，x₀-1），代入兩條切線方程，得x₀-1=x₀x₁-y₁．x₀-1=x₀x₂-y₂．故直線AB的方程為x₀-1=x₀x-y，過定點（1，1）
（3）先寫出直線PQ的方程y=

x0-2

x0-1

（x-1）+1，代入拋物線方程 y=

1

2

x2，得關于x的一元二次方程，為利用韋達定理準備條件，再設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），要證

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

，只需證明

x3-x0

x4-x0

=

1-x3

x4-1

，即2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2x₀=0，最后利用韋達定理將x₃+x₄和x₃x₄代入即可得證．

解答：解：（1）由題意，c²=

1

8

+

1

8

=

1

4

，c=

1

2

．
所以F(0，

1

2

)，拋物線D的標準方程為x²=2y．…（3分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，x₀-1），
由x2=2y，得y′=x．因此y′|x=x1=x1
拋物線D在點A處的切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x₁x-y₁．…（4分）
而A點處的切線過點P（x₀，x₀-1），所以x₀-1=x₁x₀-y₁，
即（x₁-1）x₀+1-y₁=0．
同理，（x₂-1）x₀+1-y₂=0．
可見，點A，B在直線（x-1）x₀+1-y=0上．
令x-1=0，1-y=0，解得x=y=1
所以，直線AB過定點Q（1，1）…（6分）
（3）設P（x₀，x₀-1），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
直線PQ的方程為y=

(x0-1)-1

x0-1

(x-1)+1，即y=

x0-2

x0-1

x+

1

x0-1

．
由

y= x0-2 x0-1 x+ 1 x0-1 x2=2y

，消去y，
得x²-

2(x0-2)

x0-1

x-

2

x0-1

=0．
由韋達定理，x₃+x₄=

2(x0-2)

x0-1

，x3x4=-

2

x0-1

．…（9分）
而|PM|•|QN|=|QM|•|PN|?

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

? x3-x0 x4-x0 = 1-x3 x4-1 ?(x3-x0)(x4-1)=(x4-x0)(1-x3) ?2x3x4-(x3+x4)-x0(x3+x4)+2x0=0(*)

…（12分）
將x₃+x₄=

2(x0-2)

x0-1

，x3x4=-

2

x0-1

代入方程（*）的左邊，得
（*）的左邊=-

4

x0-1

-

2(x0-2)

x0-1

-

2x0(x0-2)

x0-1

+2x0
=

-4-2x0+4-2 x 2 0 +4x0+2 x 2 0 -2x0

x0-1

=0．
因而有|PM|•|QN|=|QM|•|PN|．…（14分）

點評：本題考察了拋物線的切線方程，直線與拋物線相交的性質，解題時要特別注意韋達定理在解題時的重要運用，還要有較強的運算推理能力