Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右頂點的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設橢圓的兩焦點分別為F₁，F₂，若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的左、右頂點的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=

1

2

，可得a，c的值，由此可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）將直線l：y=k（x-1）代入橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1，消去y并整理一元二次方程，設直線AM的方程，求得與直線x=4的交點坐標P，同理可求得直線BN與直線x=4的交點坐標Q，證明P，Q兩點重合，即證明P，Q兩點的縱坐標相等．

解答：（Ⅰ）解：由題意，a=2，

c

a

=

1

2

，∴c=1，∴b²=a²-c²=3
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）證明：將直線l：y=k（x-1）代入橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1，消去y并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
設直線l與橢圓C交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4(k2-3)

3+4k2

．
直線AM的方程為：y=

y1

x1+2

(x+2），它與直線x=4的交點坐標為P（4，

6y1

x1+2

）
同理可求得直線BN與直線x=4的交點坐標為Q（4，

2y2

x2-2

）．
下面證明P，Q兩點重合，即證明P，Q兩點的縱坐標相等．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

2k[2x1x2-5(x1+x2)+8]

(x1+2)(x2-2)

=

2k[ 8(k2-3) 3+4k2 - 40k2 3+4k2 +8]

(x1+2)(x2-2)

=0
∴P，Q兩點的縱坐標相等．
綜上可知，直線AM與直線BN的交點住直線x=5上．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，橢圓方程的求法，考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題．