Question

例1：某建材廠要生產一批如圖所示的窗框，它由矩形ABCD與以AB為直徑的半圓組成，已知窗框的框架的總面積為1平方米，制造矩形ABCD的直線型鋼材每米價格為4元，制造半圓的弧形鋼材每米價格為6元，設AB=2r，制造每扇窗框的材料價格為S元，把S表示成r的函數，并求S的最小值．

Answer 1

分析：根據窗戶面積為：一個個矩形的面積+半圓的面積，求出AD長，然后建立S關于r的函數，最后利用基本不等式求該函數的最小值即可．

解答：解：扇形的面積為

1

2

πr2，則矩形的面積為1-

1

2

πr2，
∴AD=

1- 1 2 πr2

2r

∴S=4×（2AB+2AD）+6×

1

2

πr
=8（2r+

1- 1 2 πr2

2r

）+3πr
=（16+π）r+

4

r

≥4

16+π

當且僅當r=

2

16+π

時取等號
故S的最小值為4

16+π

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及利用基本不等式求函數的最值，屬于中檔題．