Question

已知α為三角形內角，且tan（α-π）=2
（1）求值：

sinα+cosα

sinα-cosα

（2）銳角β滿足sin(α-β)=

10

10

，求cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）把已知條件利用誘導公式化簡得到tanα的值，給分子分母都除以cosα化切得到關于tanα的關系式，將tanα的值代入即可求出值；
（2）根據α和β的范圍及sin（α-β）的值大于0，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（α-β）的值，即可求出tan（α-β）的值，利用兩角差的正切函數公式及tanα的值求出tanβ的值，然后根據同角三角函數間的基本關系求出cosβ的值即可．

解答：解：由已知得tan（α-π）=-tan（π-α）=tanα=2
（1）則

sinα+cosα

sinα-cosα

=

tanα+1

tanα-1

=

2+1

2-1

=3；
（2）因為α∈（0，π），且β∈（0，

π

2

），sin(α-β)=

10

10

＞0，
所以cos（α-β）=

1-( 10 10 )2

=

3 10

10

，
則tan（α-β）=

1

3

，即

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

2-tanβ

1+2tanβ

=

1

3

，
tanβ=1，則cosβ=

cos2β

=

1 sec2β

=

1 1+tan2β

=

2

2

點評：此題考查學生靈活運用兩角和與差的正弦函數公式化簡求值，靈活運用同角三角函數間的基本關系化簡求值，是一道中檔題．