Question

設函數f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.

①求f(x)的單調區間；②求所有實數a，使e－1≤f(x)≤e2對x∈[1，e]恒成立．

 

Answer 1

①f(x)的增區間為(0，a)，減區間為(a，＋∞)．②a＝e

【解析】①f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，

所以f′(x)＝－2x＋a＝.

由于a>0，∴由f′(x)>0知0<x<a，

由f′(x)<0知x>a.

所以，f(x)的增區間為(0，a)，減區間為(a，＋∞)．

②由題意知f(1)＝a－1≥e－1，

即a≥e.

由①知f(x)在[1，e]內遞增，

要使e－1≤f(x)≤e2對x∈[1，e]恒成立．

只要 ∴a＝e.